حداقل حجم نمونه برای اسمارت پی ال اس

⏱ زمان مطالعه: 8 دقیقه

یکی از باورهای رایج میان دانشجویان و پژوهشگران این است که رویکرد کمترین مربعات جزئی (PLS-SEM) نیازی به نمونه‌گیری بزرگ ندارد و با هر تعداد آزمودنی می‌توان مدل‌های پیچیده را برازش داد. این تصور اغلب ناشی از مقایسه سطحی PLS با روش‌های مبتنی بر کوواریانس (CB-SEM) نظیر لیزرل و ایموس است. اگرچه الگوریتم اسمارت پی‌ال‌اس ساختاری ناپارامتریک دارد و نسبت به نرمال نبودن داده‌ها یا حجم کم جامعه آماری انعطاف‌پذیر است، اما قدرت آزمون آماری (Statistical Power) همچنان تابع مستقیم تعداد نمونه‌هاست. اگر تعداد مشاهدات از حد معینی کمتر باشد، مدل توانایی تشخیص روابط معنادار را از دست می‌دهد و خطای نوع دوم (عدم رد فرض صفر غلط) رخ خواهد داد.

برای تعیین حداقل حجم نمونه برای اسمارت پی ال اس، روش‌های متعددی از قواعد سرانگشتی گرفته تا محاسبات دقیق توان آزمون وجود دارد. انتخاب روش مناسب بستگی به پیچیدگی مدل ساختاری، تعداد شاخص‌های سازه‌های سازنده، قدرت پیش‌بینی متغیرها و سطح معناداری پژوهش دارد. آشنایی دقیق با این استانداردها مانع از ایرادهای داوران در مرحله دفاع پایان‌نامه و پذیرش مقالات پژوهشی می‌شود.

چرا روش PLS-SEM با نمونه‌های کوچک سازگار است؟

رویکرد PLS-SEM برخلاف ایموس که بر بازتولید ماتریس کوواریانس نمونه تکیه می‌کند، بر مبنای حداکثرسازی واریانس تبیین‌شده متغیرهای وابسته (افزایش R²) طراحی شده است. الگوریتم PLS پارامترها را از طریق مجموعه‌ای از رگرسیون‌های خطی معمولی (OLS) به صورت تکرارشونده تخمین می‌زند. این ویژگی ساختاری چند پیامد آماری مهم به همراه دارد:

راهنمای جامع این موضوع: تحلیل آماری SPSS، AMOS، Smart PLS

• الزام برقرار بودن پیش‌فرض نرمال بودن چندمتغیره داده‌ها وجود ندارد.
• مدل حتی زمانی که تعداد متغیرهای مکنون نسبت به مشاهدات بالا باشد، دچار خطای عدم همگرایی یا ماتریس تکین نمی‌شود.
• پژوهشگر می‌تواند در جوامع آماری کوچک یا نمونه‌های نادر، مانند مدیران ارشد صنایع خاص، به اجرای آزمون‌های فرضیه بپردازد.

با وجود این انعطاف، کوچک بودن نمونه به معنای مجاز بودن استفاده از هر عددی نیست. در نمونه‌های بسیار کوچک، خطای استاندارد ضرایب مسیر به شدت افزایش می‌یابد، فواصل اطمینان عریض می‌شوند و امکان کشف روابط ضعیف یا متوسط به حداقل می‌رسد.

قاعده ده برابر (10-Times Rule) و نسخه‌های مختلف آن

قاعده ده برابر سنتی‌ترین و معروف‌ترین معیار تجربی برای تعیین حجم نمونه در مدل‌سازی معادلات ساختاری به روش PLS است که توسط بارکلی و همکاران (1995) معرفی شد. بر اساس این قاعده، حجم نمونه باید حداقل ۱۰ برابر بزرگ‌ترین مقدار میان دو شرط زیر باشد:

• تعداد گویه‌ها یا شاخص‌های بزرگ‌ترین سازه تشکیل‌دهنده (Formative) در مدل اندازه‌گیری.
• بیشترین تعداد مسیرهای ساختاری ورودی که به یک سازه مکنون در مدل درونی (Structural Model) همگرا می‌شوند.

به عنوان یک مثال فرضی، مدلی را در نظر بگیرید که در آن یک متغیر وابسته نهایی تحت تأثیر ۴ متغیر مستقل دیگر قرار دارد و بیشترین تعداد گویه در سازه‌های تشکیل‌دهنده برابر با ۵ است. طبق این قانون، ۴ مسیر ساختاری وارد سازه نهایی می‌شود؛ بنابراین ۴ ضربدر ۱۰ معادل ۴۰ نمونه خواهد بود. اگر بیشترین گویه‌های یک سازه تشکیل‌دهنده ۶ بود، حداقل حجم نمونه ۶۰ نفر تعیین می‌شد.

مطلب مرتبط: درصد مجاز همانندی پایان نامه ارشد

هرچند قاعده ده برابر راهنمایی ساده و در دسترس است، اما پژوهش‌های جدید افرادی مانند هیر و هاینلاین نشان داده‌اند که این فرمول توان آزمون را تضمین نمی‌کند. این قاعده اندازه اثر (Effect Size) را نادیده می‌گیرد؛ به این معنا که اگر یک رابطه در جامعه آماری ضعیف باشد، ۴۰ یا ۵۰ مشاهده به هیچ عنوان توانایی معنادار نشان دادن ضریب مسیر را نخواهد داشت. به همین دلیل مجلات معتبر بین‌المللی دیگر این قاعده را به تنهایی به عنوان استدلال آماری کافی نمی‌پذیرند.

محاسبه علمی حجم نمونه با استفاده از نرم‌افزار G*Power

استاندارد معتبر برای توجیه تعداد نمونه در پروپوزال و پایان‌نامه‌ها، انجام تحلیل توان آینده‌نگر (A Priori Power Analysis) با نرم‌افزار تخصصی G*Power است. از آنجا که بخش ساختاری PLS بر رگرسیون چندگانه OLS استوار است، آزمون آماری متناظر در جی‌پاور همان رگرسیون خطی تعیین ضریب تشخیص از صفر است.

مطلب مرتبط: تفاوت قیمت پایان نامه فنی مهندسی با علوم انسانی

مراحل تنظیمات G*Power برای مدل‌های PLS

برای انجام محاسبه گام‌به‌گام در جی‌پاور، اطلاعات زیر وارد می‌شود:

1. انتخاب خانواده آزمون (Test family): آزمون‌های F یا F tests انتخاب می‌شود.
2. انتخاب آزمون آماری (Statistical test): گزینه Linear multiple regression: Fixed model, R² deviation from zero تعیین می‌گردد.
3. نوع تحلیل توان (Type of power analysis): گزینه A priori: Compute required sample size مشخص می‌شود.
4. اندازه اثر (Effect size f²): بر اساس استانداردهای کوهن، مقدار 0.02 ضعیف، 0.15 متوسط و 0.35 قوی قلمداد می‌شود. فرض واقع‌بینانه در علوم رفتاری و سازمانی اغلب اندازه اثر متوسط یعنی 0.15 است.
5. سطح خطا (α err prob): معادل 0.05 (سطح اطمینان ۹۵ درصد).
6. توان آماری (Power: 1 – β err prob): استاندارد متداول 0.80 است، هرچند برخی داوران دانشگاهی مقدار 0.90 را ترجیح می‌دهند.
7. تعداد پیش‌بین‌ها (Number of predictors): حداکثر تعداد متغیرهای مکنون مستقل که هم‌زمان به یک متغیر وابسته اشاره دارند.

فرض کنید بیشترین پیکان‌های ورودی به یک متغیر وابسته ۴ عدد باشد. با وارد کردن اندازه اثر 0.15، سطح خطای 0.05، توان 0.80 و تعداد ۴ پیش‌بین در نرم‌افزار G*Power، حجم نمونه پیشنهادی حدود ۸۵ نفر به دست می‌آید. این عدد تفاوت قابل توجهی با عدد ۴۰ حاصل از قاعده ده برابر دارد و مانع از سوگیری در آزمون فرضیه‌ها خواهد شد.

روش جذر معکوس کوک و هادایا (Inverse Square Root Method)

کوک و هادایا (Kock & Hadaya, 2018) روش جدیدتری را برای مدل‌های PLS-SEM پیشنهاد دادند که پیچیدگی‌های تنظیمات جی‌پاور را کاهش داده و مستقیماً اندازه ضریب مسیر را هدف قرار می‌دهد. این شیوه به روش جذر معکوس معروف است و ادعا دارد که حتی در صورت نامتقارن بودن توزیع داده‌ها، نتایج پایدارتری نسبت به سایر رویکردها ارائه می‌دهد.

مطلب مرتبط: اشتباهات رایج در ارائه پایان نامه

فرمول اصلی این روش به این صورت است که حداقل حجم نمونه برابر است با تقریب مربع حاصل تقسیم ۲.۴۸۶ بر کمترین ضریب مسیر مطلق مورد انتظار (pmin):

N > (2.486 / |pmin|)²

مطلب مرتبط: علت ریجکت شدن مقاله ISI

برای مثال، اگر در یک مدل پیش‌بینی شود که ضعیف‌ترین ضریب مسیر مورد انتظار که پژوهشگر تمایل دارد معنادار شناخته شود برابر با 0.20 باشد، فرمول به شکل زیر محاسبه می‌شود: حاصل تقسیم ۲.۴۸۶ بر 0.20 برابر با ۱۲.۴۳ است و مجذور این مقدار حدود ۱۵۵ می‌شود. بدین ترتیب حداقل حجم نمونه برای شناسایی ضریب مسیر 0.20 در سطح معناداری پنج درصد با توان ۸۰ درصد، ۱۵۵ مشاهده خواهد بود. اگر کمترین اثر معنادار مورد انتظار 0.30 باشد، نمونه مورد نیاز به حدود ۶۹ نفر کاهش می‌یابد.

تفاوت نیاز نمونه در مدل‌های بازتابی (Reflective) و تشکیل‌دهنده (Formative)

ماهیت رابطه گویه‌ها با سازه‌ها نقش پررنگی در تعیین حداقل آزمودنی‌ها دارد. در سازه‌های بازتابی، تمام گویه‌ها بازتابنده یک مفهوم مشترک هستند و همبستگی بالایی با یکدیگر دارند. در این حالت افزایش تعداد گویه‌ها سبب بهبود روایی و پایایی می‌شود و فشار چندانی بر حجم نمونه وارد نمی‌کند.

در مقابل، در سازه‌های تشکیل‌دهنده (Formative)، گویه‌ها ابعاد متفاوتی را تعریف می‌کنند و با هم هم‌پوشانی ندارند؛ در نتیجه فرآیند تحلیل شبیه به یک رگرسیون بر روی سازه مکنون است. وجود هم‌خطی چندگانه بین شاخص‌های تشکیل‌دهنده و تعداد زیاد آن‌ها به سرعت نیاز به حجم نمونه بزرگ‌تر را افزایش می‌دهد. اگر مدلی دارای سازه تشکیل‌دهنده با ۷ گویه باشد، حداقل به ۱۰۰ تا ۱۲۰ نمونه برای دستیابی به تخمین‌های باثبات نیاز دارد، حتی اگر مدل ساختاری خلوتی داشته باشد.

مطلب مرتبط: عواقب درصد بالای همانندی در دفاع پایان نامه

مقایسه روش‌های تخمین حداقل حجم نمونه

جدول زیر مروری بر ویژگی‌ها، مزایا و محدودیت‌های روش‌های گوناگون مشخص کردن تعداد آزمودنی‌ها در SmartPLS فراهم می‌کند:

روش تعیین حجم نمونه	مبنای محاسبه	میزان دقت آماری	موقعیت کاربرد پیشنهادی
قاعده سنتی ده برابر	تعداد مسیرها یا شاخص‌های سازه	پایین (ریسک خطای نوع دوم)	مطالعات اکتشافی اولیه یا جوامع بسیار محدود
تحلیل توان در G*Power	اندازه اثر (f²)، آلفا و توان آزمون	بسیار بالا و استاندارد	پروپوزال‌های دانشگاهی، پایان‌نامه و مقالات معتبر
روش جذر معکوس (Kock & Hadaya)	حداقل ضریب مسیر مطلق فرضی	بسیار دقیق و پایدار	مدل‌های دارای ضرایب مسیر کوچک و نیازمند اثبات دقیق
روش گاما-نمایی (Gamma-Exponential)	شبیه‌سازی مونت‌کارلو و پارامترها	فوق‌العاده بالا	تحقیقات متدولوژی پیشرفته و داده‌های شدیداً چوله

خطاهای پرتکرار در تعیین حجم نمونه برای SmartPLS

بسیاری از پژوهشگران هنگام کار با نرم‌افزار اسمارت پی‌ال‌اس مرتکب خطاهایی می‌شوند که در جلسات دفاع یا فرآیند داوری مقاله چالش‌آفرین است:

مطلب مرتبط: حل مشکل پلاگریسم ناشی از ترجمه تحت اللفظی

• استناد به جمله معروف «PLS با ۳۰ نمونه کار می‌کند»: نرم‌افزار خروجی را با ۳۰ پرسشنامه نیز تولید می‌کند، اما فواصل اطمینان بوت‌استرپ به قدری عریض می‌شوند که اکثر فرضیات رد خواهند شد.
• نادیده گرفتن نقش متغیرهای تعدیل‌گر: وارد کردن اثر تعدیل‌گری به وسیله متغیرهای تعاملی (Interaction Terms)، واریانس خطای مدل را افزایش می‌دهد. برای کشف اثر تعدیل‌گری معنادار، حجم نمونه باید حداقل ۲۰ تا ۳۰ درصد نسبت به حالت عادی بیشتر باشد.
• خلط تعداد کل سوالات با تعداد پیش‌بین‌ها در G*Power: برخی افراد تعداد کل سوالات پرسشنامه (مثلاً ۴۰ سوال) را در فیلد Number of predictors وارد می‌کنند که اشتباه است؛ این بخش فقط مختص بیشترین متغیرهای مکنون متصل به یک متغیر درون‌زا است.
• فراموش کردن نرخ ریزش پرسشنامه‌ها: محاسبه حجم نمونه مثلاً ۱۱۰ نفر در جی‌پاور به معنای توزیع دقیق ۱۱۰ پرسشنامه نیست؛ بلکه با احتساب داده‌های مخدوش و ناپاسخگویی، باید همواره حدود ۱۵ تا ۲۰ درصد پرسشنامه اضافه توزیع شود.

پرسش‌های متداول

حداقل حجم نمونه قطعی برای اسمارت پی ال اس چقدر است؟

عدد ثابتی وجود ندارد، اما به صورت عملی برای مدل‌های معمولی با اثر متوسط (f² = 0.15)، توان ۸۰ درصد و حداکثر ۵ پیش‌بین، نمونه‌ای بین ۱۰۰ تا ۱۵۰ نفر حداقل قابل قبول در پژوهش‌های دانشگاهی محسوب می‌شود.

آیا با نمونه کمتر از ۱۰۰ نفر می‌توان مقاله ISI با SmartPLS چاپ کرد؟

تنها در شرایطی امکان‌پذیر است که جامعه پژوهش ذاتاً محدود باشد (مانند مدیران شرکت‌های بورسی در یک صنعت خاص)، اندازه اثرها بالا باشند و روش تحلیل توان با نرم‌افزار G*Power در متن متدولوژی به روشنی مستند شده باشد.

تفاوت فرمول کوکران با روش G*Power در تعیین حجم نمونه چیست؟

فرمول کوکران تنها بر پایه حجم جامعه، خطای نمونه‌گیری و واریانس صفت محاسبه می‌شود و ارتباطی با ساختار مدل رگرسیونی یا فرضیات ندارد. جی‌پاور حجم نمونه را اختصاصاً بر مبنای توان آماری آزمون مدل و کشف ضرایب معنادار به دست می‌آورد که از دید روش‌شناسی معادلات ساختاری استانداردتر است.